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“基础数学系列”的几何与拓扑讲义现已完成第一册的八章正文。本册从仿射与欧氏空间出发，建立度量空间和一般拓扑的基础，再讨论连续映射、分离与可数性、紧性、连通性，以及商空间和几何粘合。

阅读《几何与拓扑讲义·第一册：几何空间与点集拓扑基础》（PDF，125 页）

下载第一册可编辑 LaTeX 源码、图件与审校记录

八章内容依次为：

  1. 仿射与欧氏空间：点与向量、内积、正交分解和等距映射。
  2. 度量、邻域与收敛：开球、闭包、序列、完备性和稠密集。
  3. 拓扑空间、基与子空间：拓扑与邻域、基与子基、内部、闭包和子空间。
  4. 连续映射与空间组合：同胚、嵌入、有限积、立体投影和拓扑和。
  5. 分离、可数性与序列边界：分离公理、第一与第二可数性、可分性及序列判据的失效。
  6. 紧性及其度量刻画：开覆盖、有限交性质、有限积，以及紧性、序列紧性、完备性与全有界性之间的关系。
  7. 连通、道路连通与局部性质：连通分支、道路、局部性质、拓扑学家的正弦曲线和梳子空间。
  8. 商空间与粘合构造：商拓扑及其泛性质、圆周、环面、莫比乌斯带、闭集压缩、附着空间和实射影空间。

正文逐步展开定义、定理和证明，并说明反例中的假设为何不能省去。几何粘合模型先给出等价关系与映射，再证明对应关系；配图用于解释构造。源码包保留可编辑图源与预编译矢量图，第六至八章另附审校记录。

本次公开的是 2026 年 11 月 1 日阶段稿。后续修订将继续更新此处的 PDF 与源码包。网与滤子、无限积、分离定理、可度量化和紧化作为几何拓扑所需的一般拓扑工具；在这些工具之后，讲义将回到曲面、局部欧氏空间、三角剖分与曲面分类，再衔接基本群、覆盖空间、CW 复形与同调。

代数学第一册 · 代数学第二册 · 分析学第一册

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接下来我会更新基础数学系列，分为几何与拓扑、代数学、分析学三个类别，并且附上我认为值得思考的题目，以及知识点手册，均为本科期间的思考与积累工作。目前更新到第一本。

本篇发布《分析学讲义·第一册：实数、极限、微积分与测度》。全册从有序域和 Dedekind 分割出发，独立构造实数，证明实数完备性的多种等价形式，再建立级数、连续性、一元与多元微分、逆函数与隐函数、重积分和换元公式。后半册从 Lebesgue 外测度与可测集开始，逐步构造 Lebesgue 积分，证明 Fatou、控制收敛、Tonelli–Fubini、Hölder、Minkowski、$L^p$ 完备性、Lebesgue 微分定理、Radon–Nikodym 定理，以及绝对连续函数的 Lebesgue 版微积分基本定理。

阅读《分析学讲义·第一册》（PDF，248页）

下载第一册可编辑 LaTeX 源文件与终审记录

本次发布版逐章检查了定义、定理依赖、交叉引用和公式排版，并对新增的 Lebesgue 微分、Radon–Nikodym、Stieltjes 测度与 Cantor 函数章节进行了重新编译和页面复核。参考层次对照 Lebl、Rudin、Folland 以及 Stein–Shakarchi 的经典教材。

《几何与拓扑讲义·第一册：几何空间与点集拓扑基础》现已发布，内容包括度量空间、点集拓扑、紧性、连通性与商空间。同伦、基本群、覆盖空间、CW 复形与同调由后续代数拓扑分册承接。

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“基础数学系列”继续更新，分为几何与拓扑、代数学、分析学三个类别。系列将整理知识点手册，并附上我认为值得思考的题目，均为本科期间的思考与积累工作。目前代数学讲义更新至第二册。

阅读《代数学讲义·第二册：群的结构理论》（PDF，142页）

下载第二册可编辑LaTeX源文件与审校说明

第二册共九章：正规列与合成因子；交换子与可解群；中心列与幂零群；直积、半直积与群扩张；置换群与单群；低阶群的结构与分类；自由群与生成元、关系；Frattini、Fitting与Hall理论；有限群的线性表示与完全可约性。

本次发布为2026年10月29日审校版。补充了交换核半直积的同构判据，展开三阶作用的谱投影与直和证明，并明确扩张分类及可解有限群定理的条件。全册已重新编译、检查引用并逐页核看排版，具体模型另作有限算例核查。

本册在完全可约表示的基础处收束；特征标、诱导表示及更深的群论专题由后续分册承接。分析学、几何与拓扑分别规划，综合习题集另行整理。

阅读第一册（PDF，160页） · 第一册介绍

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《代数学综合高阶习题集》开始更新。它是一部独立的综合题集，采用连续题号，不按讲义分册配题；从集合与映射出发，逐步进入更深入的代数问题。

目前收入首批 8 题，共 17 页。题目依次涉及不相交平移、双射构造、共同代表集、反链与极值情形、交叉集合对、奇偶交、Fisher 不等式和 Graham–Pollak 分解。选题重在数学内容与证明价值，数量服从质量。

阅读习题集（PDF，17 页）

下载可编辑 LaTeX 源码 · 查看题源核查记录（JSON）

每题给出完整解答。书末逐题注明实际核读的版本、页码及改编范围，区分竞赛原题、教材习题与定理改编；新增的附加问也单独说明。首批题源包括 IMO 官方题单、MIT 公开课程文本、Richard P. Stanley 的《Topics in Algebraic Combinatorics》和 Stasys Jukna 的《Extremal Combinatorics》公开草稿。

后续会继续筛选、审校并补充题目。集合与映射部分尚未编写完毕，不以凑满题数作为完成标准。

基础数学系列包括几何与拓扑、代数学、分析学三个类别。正文目前已公开《代数学讲义·第一册》。

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接下来，我会持续更新“基础数学系列”，分为几何与拓扑、代数学、分析学三个类别。系列将整理知识点手册，并附上我认为值得思考的题目。这些内容均为本科期间的思考与积累工作。

本篇收录《代数学讲义·第一册》。系列现已更新至第二册《群的结构理论》。

点击阅读《代数学讲义·第一册》（PDF，168 页，审阅修订稿）

下载本次审阅修订稿的 LaTeX 源文件

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Integral Homology under Singer–Frobenius Actions

This writing sample studies the integral first homology of the point–line
incidence graph of the projective plane $\mathrm{PG}(2,q)$ under its
Singer–Frobenius action. The calculation compares homology coinvariants
with the ordinary homology of the quotient graph. An explicit integral
cycle basis reduces the family calculation to a finite-index inclusion of
lattices; Smith normal form then records the torsion and the failure of an
equivariant integral splitting.

The case $q=4$ is the first example in which invariant cycles occur while
the comparison map remains non-primitive. The final section gives a
composite-rank obstruction to a prime-to-rank vanishing statement by using
the fixed subbuilding of a Sylow subgroup.

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